Qu’est ce que sont les équations ?

En mathématiques, le symbole le plus important est =. Ceci affirme que deux quantités sont égales de chaque côté. Une équation est une expression de cette forme.

Bien sûr, une équation est les équations évidentes comme 7 = 7 sont plutôt intéressantes. Mais les équations peuvent êtres informatives quand l’égalité est moins immédiate. Un exemple célèbre est E = Mc², l’équation en physique qui affirme que l’énergie (E) contenue à l’intérieur d’un objet est égale à sa masse (M) multipliée deux fois par la vitesse de la lumière (c) . En physique, beaucoup des lois fondamentales prennent la forme d’équations. Un type courant d’équation implique un nombre inconnu. Si x est un nombre tel que 2x + 1 = 9, on peut dire que “2 fois x égal 9”: cette équation contient suffisamment d’informations pour définir exactement x. Il y a une seule valeur possible de x, si cette équation est vraie. 

Avec toute équation, la règle primaire est : “toujours faire la même chose des deux côtés, dans le but de la garder vraie.” Ainsi, si vous désirez soustraire 1 d’un côté, vous devez le faire des deux côtés : 2x = 8. De même, lorsque l’on divise un côté par 2, vous devez agir pareillement des deux côtés : x = 4. C’est maintenant la “solution” à l’équation originale. Les équations sont partout dans le monde qui notre environnement et le système solaire. 

Il existe en mathématiques de nombreux types d’équations selon la nature de l’inconnue.

Les équations réelles

• Les équations diophantiennes sont les équations dont l’inconnue est un nombre entier. Elles portent le nom du mathématicien grec Diophante.
• Les équations fonctionnelles dont les inconnues sont des fonctions.
• Les équations géométriques dont les inconnues sont des figures géométriques. Nous verrons dans la troisième partie de ce cours que ces équations peuvent être vues comme des équations réelles à plusieurs inconnues.

L’algèbre rhétorique

Commençons par un exemple :

Je suis un nombre.

Et je suis égal à ma moitié plus douze.

Qui suis-je ?

C’est ce que l’on appelle l’algèbre rhétorique.

Nous avons vu qu’au début de l’histoire des équations, celles-ci étaient écrites en langage courant. Mais peu à peu, les mathématiciens vont se mettre à utiliser des abréviations et des symboles spécifiques pour écrire leurs problèmes d’algèbre. L’un des principaux artisans de ces transformations est le mathématicien français François Viète (1540,1603) qui lance à la fin du XVIe siècle un large programme de modernisation de l’algèbre.

Les premières transformations que l’on voit apparaître consistent à remplacer les mots par des abréviations. Au cours des XVe, XVIe et XVIIe siècles, ces notations vont subir de nombreuses autres transformations et variations selon les auteurs. Peu à peu, on voit apparaître les notations auxquelles nous sommes habituées aujourd’hui.

Voici la liste des principaux symboles mathématiques par ordre chronologique de leur apparition. Aujourd’hui, ceci est même utilisé dans la blockchain.

• Les symboles + et – pour l’addition et la soustractions sont introduits par le mathématicien allemand Johannes Widmann vers 1489.
• Le symbole = pour désigner l’égalité est introduit par le mathématicien gallois Robert Recorde en 1557.
• Le symbole × pour la multiplication est introduit par le mathématicien anglais William Oughtred en 1631.
• L’utilisation d’un exposant pour les puissances (par exemple 3²) ainsi que le symbole  √ pour la racine carrée est introduit par le mathématicien français René Descartes en 1637.
• Le symbole ÷ pour la division est introduit par le mathématicien suisse Johann Heinrich Rahn en 1659.